算法 |【实验5.3】：一元三次方程的根-连续区间的二分搜索求近似解
一元三次方程的根 1. 题目描述
有形如： a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。 给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。 提示： 记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且x1 < x2，f(x1)*f(x2) < 0，则在(x1，x2)之间一定有一个根。 输入一行，包含四个实数a，b，c，d，相邻两个数之间用单个空格隔开。 输出一行，包含三个实数，为该方程的三个实根，按从小到大顺序排列，相邻两个数之间用单个空格隔开，精确到小数点后2位。 样例输入 1.0 -5.0 -4.0 20.0 样例输出 -2.00 2.00 5.00
2. 问题分析与算法设计思路 1）基本思路我使用的根的存在定理来解这个问题。对于方程 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0，如果 f ( x 1 ) ∗ f ( x 2 ) < 0 f(x_1)*f(x_2)<0 f(x1)∗f(x2)<0，则在 x1 和 x2 之间至少存在一个实根。注意根的存在定理反过来不一定成立，即 f ( x 1 ) ∗ f ( x 2 ) > 0 f(x_1)*f(x_2)>0 f(x1)∗f(x2)>0不能说明 x1 和 x2 之间就没有根。
利用根的存在定理，我们就可以递归地对指定区间进行二分搜索。通过搜索我们将得到根的近似解。如何确定达到了需要的近似精度呢？
1）区间内有根存在，且区间长度小于指定精度 2）某点处函数值为 0
2）小心浮点数存储方式的影响注意小数在计算机中存储的是一个近似值，直接判断浮点数相等是不安全的行为。可参考下面的程序代码。我们可以改用判断：
该浮点数与 0 的差的绝对值，是否小于某个微小值（自己设定）
#include<iostream> using namespace std; int main(){ double a = 0; cout<<"a: "<<a<<endl; if(a == 0) cout<<"yes"<<endl; else cout<<"no"<<endl; a = a + 0.05; a = a - 0.02; a = a - 0.03; cout<<"a: "<<a<<endl; if(a == 0) cout<<"yes"<<endl; else cout<<"no"<<endl; return 0; }运行结果
3）如何判断：一个区间是否值得继续搜索在判断要不要对一个区间进行搜索时，由于根的存在定理的逆命题不成立，我们无法单纯地依靠它进行判断。不过可以设定一个阈值：当区间缩小到某个程度后仍然不能满足根的存在定理时，我们就认为这个区间中将不会有方程的根。
具体的区间阈值大家可以自由选取、多做尝试。我这里使用的是 1 （可能有点草率，但也通过了测试数据）。
3. 算法实现 #include<iostream> using namespace std; double result[3]={};//存放方程的根 int count=0;//已经找到的方程的根的数量 //前向推导函数值 //bug:之前x的类型使用的int double fx(double can[4], double x){ return can[0]*x*x*x + can[1]*x*x + can[2]*x + can[3]; } //绝对值 double jdz(double x){ if(x < 0) x = -x; return x; } void find_gen(double first, double end, double can[4]){ if(count >= 3) return; double mid = (first + end) / 2; double mid_p = 0; double fx1 = fx(can, first); double fx2 = fx(can, end); double fx0 = fx(can, mid); bool cheng = (fx1>0.0001 && fx2>0.0001) || (fx1<0.0001 && fx2<0.0001); if(jdz(fx0) - 0 < 0.0001){ result[count++] = mid; mid_p = 0.01; } // printf("first %.4lf, end %.4lf, mid %.4lf\n",first, end, mid); // printf("fx1 %.4lf, fx2 %.4lf, cheng %d\n", fx1, fx2, cheng); // printf("result: %.4lf, %.4lf, %.4lf\n\n", result[0], result[1], result[2]); //符合根的存在定理说明有根，但不符合并不能说明没有根 if(cheng == 0 || end - first > 1) { if(end - first < 0.01) { result[count++] = mid; return; } find_gen(first, mid - mid_p, can); find_gen(mid + mid_p, end, can); } } int main(){ double can[4] = {}; cin>>can[0]>>can[1]>>can[2]>>can[3]; // cout<<"参数："<<can[0]<<' '<<can[1]<<' '<<can[2]<<' '<<can[3]<<endl; find_gen(-100.0, 100.0, can); cout<<result[0]<<' '<<result[1]<<' '<<result[2]<<endl; return 0; } 4. 运行结果 5. 算法分析在对有序数组的搜索中，二分搜索是一种高效的方法。对长度为n的数组的搜索，时间复杂度为： o ( l o g ( n ) ) o(log(n)) o(log(n))。
与数组的二分搜索的不同之处：
我们通常仅需从数组中找到一个值，因此每次搜索，剩余的搜索空间将变为原来的一半；而一个方程却可以有多个根。在决定是否放弃一个搜索区间时，我没有很合适的判断标准。 因此，前面说的搜索到区间长度小于某个阈值的方法，其实更像是在遍历。只有在某个确定有根存在的、长度已经小于阈值的区间上，才更像是一次二分搜索。
由“递归中的遍历本质”产生的优化方法：
鉴于该递归算法中实际上隐藏着一个遍历阶段，而递归程序本身又是一种时间开销大的写法。其实我们还可以干脆一点：就使用循环遍历+对存在根的小区间二分搜索。有兴趣的小伙伴可以自己尝试一下！
于是，在考虑该算法的时间开销时，可以分为两个阶段：遍历阶段和二分阶段。
遍历阶段的时间复杂度和初始搜索区间长度以及设定的阈值有关；而二分阶段的时间复杂度和设定的阈值以及要求的结果精度有关。也就是说，输入的规模仅仅是影响算法时间开销的一个因素。因此，时间复杂度的分析超出了我的分析能力，就先不具体分析了叭！😅
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