[Python从零到壹] 六十四.图像识别及经典案例篇之图像傅里叶变换和傅里叶逆变换详解
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该系列文章主要讲解Python OpenCV图像处理和图像识别知识，前期主要讲解图像处理基础知识、OpenCV基础用法、常用图像绘制方法、图像几何变换等，中期讲解图像处理的各种运算，包括图像点运算、形态学处理、图像锐化、图像增强、图像平滑等，后期研究图像识别、图像分割、图像分类、图像特效处理以及图像处理相关应用。
第一部分作者介绍了图像处理基础知识，第二部分介绍了图像运算和图像增强，接下来第三部分我们将详细讲解图像识别及图像处理经典案例，该部分属于高阶图像处理知识，能进一步加深我们的理解和实践能力。在数字图像处理中，有两个经典的变换被广泛应用——傅里叶变换和霍夫变换。其中，傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号，用来进行图像除噪、图像增强等处理；霍夫变换主要用来辨别找出物件中的特征，用来进行特征检测、图像分析、数位影像处理等处理。本文主要讲解图像傅里叶变换和傅里叶逆变换。希望文章对您有所帮助，如果有不足之处，还请海涵。
文章目录 一.图像傅里叶变换和逆变换二.OpenCV实现图像傅里叶变换和逆变换1.OpenCV实现傅里叶变换2.OpenCV实现傅里叶逆变换 三.NumPy实现图像傅里叶变换和逆变换1.Numpy实现傅里叶变换2.Numpy实现傅里叶逆变换 四.高通滤波和低通滤波1.高通滤波器2.低通滤波器 五.总结下载地址：记得点赞喔 O(∩_∩)O
https://github.com/eastmountyxz/Python-zero2one开源600多页电子书：https://github.com/eastmountyxz/HWCloudImageRecognition前文赏析：（尽管该部分占大量篇幅，但我舍不得删除，哈哈！）
第一部分 基础语法
[Python从零到壹] 一.为什么我们要学Python及基础语法详解[Python从零到壹] 二.语法基础之条件语句、循环语句和函数[Python从零到壹] 三.语法基础之文件操作、CSV文件读写及面向对象第二部分 网络爬虫
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[Python从零到壹] 三十三.图像处理基础篇之什么是图像处理和OpenCV配置[Python从零到壹] 三十四.OpenCV入门详解——显示读取修改及保存图像[Python从零到壹] 三十五.图像处理基础篇之OpenCV绘制各类几何图形[Python从零到壹] 三十六.图像处理基础篇之图像算术与逻辑运算详解[Python从零到壹] 三十七.图像处理基础篇之图像融合处理和ROI区域绘制[Python从零到壹] 三十八.图像处理基础篇之图像几何变换（平移缩放旋转）[Python从零到壹] 三十九.图像处理基础篇之图像几何变换（镜像仿射透视）[Python从零到壹] 四十.图像处理基础篇之图像量化处理[Python从零到壹] 四十一.图像处理基础篇之图像采样处理[Python从零到壹] 四十二.图像处理基础篇之图像金字塔向上取样和向下取样第五部分 Python图像运算和图像增强
[Python从零到壹] 四十三.图像增强及运算篇之图像点运算和图像灰度化处理[Python从零到壹] 四十四.图像增强及运算篇之图像灰度线性变换详解[Python从零到壹] 四十五.图像增强及运算篇之图像灰度非线性变换详解[Python从零到壹] 四十六.图像增强及运算篇之图像阈值化处理[Python从零到壹] 四十七.图像增强及运算篇之腐蚀和膨胀详解[Python从零到壹] 四十八.图像增强及运算篇之形态学开运算、闭运算和梯度运算[Python从零到壹] 四十九.图像增强及运算篇之顶帽运算和底帽运算[Python从零到壹] 五十.图像增强及运算篇之图像直方图理论知识和绘制实现[Python从零到壹] 五十一.图像增强及运算篇之图像灰度直方图对比分析万字详解[Python从零到壹] 五十二.图像增强及运算篇之图像掩膜直方图和HS直方图[Python从零到壹] 五十三.图像增强及运算篇之直方图均衡化处理[Python从零到壹] 五十四.图像增强及运算篇之局部直方图均衡化和自动色彩均衡化处理[Python从零到壹] 五十五.图像增强及运算篇之图像平滑（均值滤波、方框滤波、高斯滤波）[Python从零到壹] 五十六.图像增强及运算篇之图像平滑（中值滤波、双边滤波）[Python从零到壹] 五十七.图像增强及运算篇之图像锐化Roberts、Prewitt算子实现边缘检测[Python从零到壹] 五十八.图像增强及运算篇之图像锐化Sobel、Laplacian算子实现边缘检测[Python从零到壹] 五十九.图像增强及运算篇之图像锐化Scharr、Canny、LOG实现边缘检测第六部分 Python图像识别和图像高阶案例
[Python从零到壹] 六十.图像识别及经典案例篇之基于阈值及边缘检测的图像分割[Python从零到壹] 六十一.图像识别及经典案例篇之基于纹理背景和聚类算法的图像分割[Python从零到壹] 六十二.图像识别及经典案例篇之基于均值漂移算法和分水岭算法的图像分割[Python从零到壹] 六十三.图像识别及经典案例篇之图像漫水填充分割应用[Python从零到壹] 六十四.图像识别及经典案例篇之图像傅里叶变换和傅里叶逆变换详解第七部分 NLP与文本挖掘
第八部分 人工智能入门知识
第九部分 网络攻防与AI安全
第十部分 知识图谱构建实战
扩展部分 人工智能高级案例
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一.图像傅里叶变换和逆变换
傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）常用于数字信号处理，它的目的是将时间域上的信号转变为频率域上的信号。随着域的不同，对同一个事物的了解角度也随之改变，因此在时域中某些不好处理的地方，在频域就可以较为简单的处理。同时，可以从频域里发现一些原先不易察觉的特征。傅里叶定理指出“任何连续周期信号都可以表示成（或者无限逼近）一系列正弦信号的叠加。”[1]
傅里叶公式（1）如下，其中w表示频率，t表示时间，为复变函数。它将时间域的函数表示为频率域的函数f(t)的积分[2]。
傅里叶变换认为一个周期函数（信号）包含多个频率分量，任意函数（信号）f(t)可通过多个周期函数（或基函数）相加合成。从物理角度理解，傅里叶变换是以一组特殊的函数（三角函数）为正交基，对原函数进行线性变换，物理意义便是原函数在各组基函数的投影。如1图所示，它是由三条正弦曲线组合成。其函数为（2）所示[3]。
傅里叶变换可以应用于图像处理中，经过对图像进行变换得到其频谱图。从谱频图里频率高低来表征图像中灰度变化剧烈程度。图像中的边缘信号和噪声信号往往是高频信号，而图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号往往是低频信号。这时可以有针对性的对图像进行相关操作，例如图像除噪、图像增强和锐化等。
二维图像的傅里叶变换可以用以下数学公式（3）表达，其中f是空间域（Spatial Domain）)值，F是频域（Frequency Domain）值。
对上面的傅里叶变换有了大致的了解之后，下面通过Numpy和OpenCV分别讲解图像傅里叶变换的算法及操作代码。
二.OpenCV实现图像傅里叶变换和逆变换 1.OpenCV实现傅里叶变换
OpenCV 中相应的函数是cv2.dft()和用Numpy输出的结果一样，但是是双通道的。第一个通道是结果的实数部分，第二个通道是结果的虚数部分，并且输入图像要首先转换成 np.float32 格式。其函数原型如下所示：
dst = cv2.dft(src, dst=None, flags=None, nonzeroRows=None) – src表示输入图像，需要通过np.float32转换格式 – dst表示输出图像，包括输出大小和尺寸 – flags表示转换标记，其中DFT _INVERSE执行反向一维或二维转换，而不是默认的正向转换；DFT _SCALE表示缩放结果，由阵列元素的数量除以它；DFT _ROWS执行正向或反向变换输入矩阵的每个单独的行，该标志可以同时转换多个矢量，并可用于减少开销以执行3D和更高维度的转换等；DFT _COMPLEX_OUTPUT执行1D或2D实数组的正向转换，这是最快的选择，默认功能；DFT _REAL_OUTPUT执行一维或二维复数阵列的逆变换，结果通常是相同大小的复数数组，但如果输入数组具有共轭复数对称性，则输出为真实数组 – nonzeroRows表示当参数不为零时，函数假定只有nonzeroRows输入数组的第一行（未设置）或者只有输出数组的第一个（设置）包含非零，因此函数可以处理其余的行更有效率，并节省一些时间；这种技术对计算阵列互相关或使用DFT卷积非常有用注意，由于输出的频谱结果是一个复数，需要调用cv2.magnitude()函数将傅里叶变换的双通道结果转换为0到255的范围。其函数原型如下：
cv2.magnitude(x, y) – x表示浮点型X坐标值，即实部 – y表示浮点型Y坐标值，即虚部最终输出结果为幅值，即：
下面的代码是调用cv2.dft()进行傅里叶变换的一个简单示例。
# -*- coding: utf-8 -*- # By: Eastmount import numpy as np import cv2 from matplotlib import pyplot as plt import matplotlib #读取图像 img = cv2.imread('lena-hd.png', 0) #傅里叶变换 dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) #将频谱低频从左上角移动至中心位置 dft_shift = np.fft.fftshift(dft) #频谱图像双通道复数转换为0-255区间 result = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1])) #设置字体 matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #显示图像 plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title(u'(a)原始图像'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray') plt.title(u'(b)傅里叶变换处理'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.show()输出结果如图2所示，图(a)为原始“Lena”图，图(b)为转换后的频谱图像，并且保证低频位于中心位置。
2.OpenCV实现傅里叶逆变换
在OpenCV 中，通过函数cv2.idft()实现傅里叶逆变换，其返回结果取决于原始图像的类型和大小，原始图像可以为实数或复数。其函数原型如下所示：
dst = cv2.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) – src表示输入图像，包括实数或复数 – dst表示输出图像 – flags表示转换标记 – nonzeroRows表示要处理的dst行数，其余行的内容未定义（请参阅dft描述中的卷积示例）注意，由于输出的频谱结果是一个复数，需要调用cv2.magnitude()函数将傅里叶变换的双通道结果转换为0到255的范围。其函数原型如下：
cv2.magnitude(x, y) – x表示浮点型X坐标值，即实部 – y表示浮点型Y坐标值，即虚部最终输出结果为幅值，即：
下面的代码是调用cv2.idft()进行傅里叶逆变换的一个简单示例。
# -*- coding: utf-8 -*- # By: Eastmount import numpy as np import cv2 from matplotlib import pyplot as plt import matplotlib #读取图像 img = cv2.imread('lena-hd.png', 0) #傅里叶变换 dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dftshift = np.fft.fftshift(dft) res1= 20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1])) #傅里叶逆变换 ishift = np.fft.ifftshift(dftshift) iimg = cv2.idft(ishift) res2 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1]) #设置字体 matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #显示图像 plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像') plt.axis('off') plt.subplot(132), plt.imshow(res1, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换处理') plt.axis('off') plt.subplot(133), plt.imshow(res2, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换逆处理') plt.axis('off') plt.show()输出结果如图3所示，图(a)为原始“Lena”图，图(b)为傅里叶变换后的频谱图像，图©为傅里叶逆变换，频谱图像转换为原始图像的过程。
三.NumPy实现图像傅里叶变换和逆变换 1.Numpy实现傅里叶变换
Numpy中的 FFT包提供了函数 np.fft.fft2()可以对信号进行快速傅里叶变换，其函数原型如下所示，该输出结果是一个复数数组（Complex Ndarry）[2]。
fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None) – a表示输入图像，阵列状的复杂数组 – s表示整数序列，可以决定输出数组的大小。输出可选形状（每个转换轴的长度），其中s[0]表示轴0，s[1]表示轴1。对应fit(x,n)函数中的n，沿着每个轴，如果给定的形状小于输入形状，则将剪切输入。如果大于则输入将用零填充。如果未给定’s’，则使用沿’axles’指定的轴的输入形状 – axes表示整数序列，用于计算FFT的可选轴。如果未给出，则使用最后两个轴。“axes”中的重复索引表示对该轴执行多次转换，一个元素序列意味着执行一维FFT – norm包括None和ortho两个选项，规范化模式（请参见numpy.fft）。默认值为无Numpy中的fft模块有很多函数，相关函数如下：
#计算一维傅里叶变换 numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None) #计算二维的傅里叶变换 numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None) #计算n维的傅里叶变换 numpy.fft.fftn() #计算n维实数的傅里叶变换 numpy.fft.rfftn() #返回傅里叶变换的采样频率 numpy.fft.fftfreq() #将FFT输出中的直流分量移动到频谱中央 numpy.fft.shift()下面的代码是通过Numpy库实现傅里叶变换，调用np.fft.fft2()快速傅里叶变换得到频率分布，接着调用np.fft.fftshift()函数将中心位置转移至中间，最终通过Matplotlib显示效果图。
# -*- coding: utf-8 -*- # By: Eastmount import cv2 as cv import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt import matplotlib #读取图像 img = cv.imread('lena-hd.png', 0) #快速傅里叶变换算法得到频率分布 f = np.fft.fft2(img) #默认结果中心点位置是在左上角, #调用fftshift()函数转移到中间位置 fshift = np.fft.fftshift(f) #fft结果是复数, 其绝对值结果是振幅 fimg = np.log(np.abs(fshift)) #设置字体 matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #展示结果 plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像') plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换处理') plt.axis('off') plt.show()输出结果如图4所示，图(a)为原始图像，图(b)为频率分布图谱，其中越靠近中心位置频率越低，越亮（灰度值越高）的位置代表该频率的信号振幅越大。
需要注意，傅里叶变换得到低频、高频信息，针对低频和高频处理能够实现不同的目的。同时，傅里叶过程是可逆的，图像经过傅里叶变换、逆傅里叶变换能够恢复原始图像。
下面代码呈现了原始图像在变化方面的一种表示：图像最明亮的像素放到中央，然后逐渐变暗，在边缘上的像素最暗。这样可以发现图像中亮、暗像素的百分比，即为频域中的振幅AA的强度。
# -*- coding: utf-8 -*- # By: Eastmount import cv2 as cv import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt import matplotlib #读取图像 img = cv.imread('luo.png', 0) #傅里叶变换 f = np.fft.fft2(img) #转移像素做幅度普 fshift = np.fft.fftshift(f) #取绝对值：将复数变化成实数取对数的目的为了将数据变化到0-255 res = np.log(np.abs(fshift)) #设置字体 matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #展示结果 plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换处理'), plt.axis('off') plt.show()输出结果如图5所示，图(a)为原始图像，图(b)为频率分布图谱。
2.Numpy实现傅里叶逆变换
下面介绍Numpy实现傅里叶逆变换，它是傅里叶变换的逆操作，将频谱图像转换为原始图像的过程。通过傅里叶变换将转换为频谱图，并对高频（边界）和低频（细节）部分进行处理，接着需要通过傅里叶逆变换恢复为原始效果图。频域上对图像的处理会反映在逆变换图像上，从而更好地进行图像处理。
图像傅里叶变化主要使用的函数如下所示：
#实现图像逆傅里叶变换，返回一个复数数组 numpy.fft.ifft2(a, n=None, axis=-1, norm=None) #fftshit()函数的逆函数，它将频谱图像的中心低频部分移动至左上角 numpy.fft.fftshift() #将复数转换为0至255范围 iimg = numpy.abs(逆傅里叶变换结果)下面的代码分别实现了傅里叶变换和傅里叶逆变换。
# -*- coding: utf-8 -*- # By: Eastmount import cv2 as cv import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt import matplotlib #读取图像 img = cv.imread('luo.png', 0) #傅里叶变换 f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) res = np.log(np.abs(fshift)) #傅里叶逆变换 ishift = np.fft.ifftshift(fshift) iimg = np.fft.ifft2(ishift) iimg = np.abs(iimg) #设置字体 matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #展示结果 plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像') plt.axis('off') plt.subplot(132), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换处理') plt.axis('off') plt.subplot(133), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title('(c)傅里叶逆变换处理') plt.axis('off') plt.show()输出结果如图6所示，从左至右分别为原始图像、频谱图像、逆傅里叶变换转换图像。
四.高通滤波和低通滤波
傅里叶变换的目的并不是为了观察图像的频率分布（至少不是最终目的），更多情况下是为了对频率进行过滤，通过修改频率以达到图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、压缩加密等目的。
过滤的方法一般有三种：
低通（Low-pass）高通（High-pass）带通（Band-pass）所谓低通就是保留图像中的低频成分，过滤高频成分，可以把过滤器想象成一张渔网，想要低通过滤器，就是将高频区域的信号全部拉黑，而低频区域全部保留。例如，在一幅大草原的图像中，低频对应着广袤且颜色趋于一致的草原，表示图像变换缓慢的灰度分量；高频对应着草原图像中的老虎等边缘信息，表示图像变换较快的灰度分量，由于灰度尖锐过度造成[4]。
1.高通滤波器高通滤波器是指通过高频的滤波器，衰减低频而通过高频，常用于增强尖锐的细节，但会导致图像的对比度会降低。该滤波器将检测图像的某个区域，根据像素与周围像素的差值来提升像素的亮度。图7展示了“Lena”图对应的频谱图像，其中心区域为低频部分。
接着通过高通滤波器覆盖掉中心低频部分，将255两点变换为0，同时保留高频部分，其处理过程如图8所示。
其中心黑色模板生成的核心代码如下：
rows, cols = img.shape crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2) fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0通过高通滤波器将提取图像的边缘轮廓，生成如图9所示图像。
完整代码如下所示：
# -*- coding: utf-8 -*- # By: Eastmount import cv2 as cv import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt import matplotlib #读取图像 img = cv.imread('lena-hd.png', 0) #傅里叶变换 f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) #设置高通滤波器 rows, cols = img.shape crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2) fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0 #傅里叶逆变换 ishift = np.fft.ifftshift(fshift) iimg = np.fft.ifft2(ishift) iimg = np.abs(iimg) #设置字体 matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #显示原始图像和高通滤波处理图像 plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像') plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title('(b)结果图像') plt.axis('off') plt.show()输出结果如图10所示，图(a)为原始“Lena”图，图(b)为高通滤波器提取的边缘轮廓图像。它通过傅里叶变换转换为频谱图像，再将中心的低频部分设置为0，再通过傅里叶逆变换转换为最终输出图像。
2.低通滤波器低通滤波器是指通过低频的滤波器，衰减高频而通过低频，常用于模糊图像。低通滤波器与高通滤波器相反，当一个像素与周围像素的插值小于一个特定值时，平滑该像素的亮度，常用于去燥和模糊化处理。如PS软件中的高斯模糊，就是常见的模糊滤波器之一，属于削弱高频信号的低通滤波器。
图7展示了“Lena”图对应的频谱图像，其中心区域为低频部分。如果构造低通滤波器，则将频谱图像中心低频部分保留，其他部分替换为黑色0，其处理过程如图11所示，最终得到的效果图为模糊图像。
那么，如何构造该滤波图像呢？如图12所示，滤波图像是通过低通滤波器和频谱图像形成。其中低通滤波器中心区域为白色255，其他区域为黑色0。
低通滤波器主要通过矩阵设置构造，其核心代码如下：
rows, cols = img.shape crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2) mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8) mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1通过低通滤波器将模糊图像的完整代码如下所示：
# -*- coding: utf-8 -*- # By: Eastmount import cv2 import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt import matplotlib #读取图像 img = cv2.imread('lena-hd.png', 0) #傅里叶变换 dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) fshift = np.fft.fftshift(dft) #设置低通滤波器 rows, cols = img.shape crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2) #中心位置 mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8) mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1 #掩膜图像和频谱图像乘积 f = fshift * mask print(f.shape, fshift.shape, mask.shape) #傅里叶逆变换 ishift = np.fft.ifftshift(f) iimg = cv2.idft(ishift) res = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1]) #设置字体 matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #显示原始图像和低通滤波处理图像 plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像') plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('(b)结果图像') plt.axis('off') plt.show()输出结果如图13所示，图(a)为原始“Lena”图，图(b)为低通滤波器模糊处理后的图像。
五.总结
本章主要讲解傅里叶变换。傅里叶变换主要用来进行图像除噪、图像增强处理，通过Numpy和OpenCV两种方法分别进行叙述，并结合代码加深了读者的印象。希望读者深入了解傅里叶变换的原理知识，该算法应用非常广。
转眼就过年了，2022年简单总结：很多遗憾，很多不足，勉强算是分秒必争，只争朝夕，但愧对家人，陪伴太少，论文、科研、分享和家庭都做得不好，这一年勉强给个65分吧。最最感恩的永远是女神，回家的感觉真好，平平淡淡，温温馨馨，虽然这辈子科研、事业和职称上没有太大的追求，和大佬们的差距如鸿沟，但能做自己喜欢的事，爱自己喜欢的人，每天前进一小步（人生勿比），一家人健康幸福，足矣。提前祝大家新春快乐，阖家幸福。小珞珞是真的逗，陪伴的感觉真好，女神是真的好，爱你们喔，晚安娜继续加油！
(By:Eastmount 2023-02-06 夜于贵阳 http://blog.csdn.net/eastmount/ )
参考文献：
[1]冈萨雷斯著. 数字图像处理（第3版）[M]. 北京：电子工业出版社，2013.[2]阮秋琦. 数字图像处理学（第3版）[M]. 北京：电子工业出版社，2008.[3]毛星云，冷雪飞. OpenCV3编程入门[M]. 北京：电子工业出版社，2015.[4]张铮，王艳平，薛桂香等. 数字图像处理与机器视觉——Visual C++与Matlab实现[M]. 北京：人民邮电出版社，2014.[5]百度百科. 傅里叶变换[EB/OL]. (2019.02.05). https://baike.baidu.com/item/傅里叶变换/7119029.[6]Eastmount. [Python图像处理] 三十二.傅里叶变换（图像去噪）与霍夫变换（特征识别）万字详细总结[EB/OL]. (2020.12.02). https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/ 110487868.[7]daduzimama. 图像的傅里叶变换的迷思----频谱居中[EB/OL]. (2018-06-07). https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80597454.[8]tenderwx. [数字图像处理] 傅里叶变换在图像处理中的应用[EB/OL]. (2016-03-05). https://www.cnblogs.com/tenderwx/p/5245859.html.[9]小小猫钓小小鱼. 深入浅出的讲解傅里叶变换（真正的通俗易懂）[EB/OL]. (2018-02-02). https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html.