f - O(g) 本质上说

对于常数 k > 0 的至少一个 选择，您可以找到一个常数 a ，使得不等式 0 <= f(x) <= kg(x) 对于所有 x > a
都成立。

请注意，O(g) 是该条件成立的所有函数的集合。

f － o(g) 本质上说

对于常数 k > 0 的 每一个 选择，您都可以找到一个常数 a ，使得不等式 0 <= f(x) < kg(x) 对于所有 x > a
都成立。

再次注意，o(g) 是一个集合。

在 Big-O 中，您只需要找到一个特定的乘数 k ，对于该乘数 k ，不等式超过某个最小值 x 。

在 Little-o 中，必须有一个最小值 x ，只要它不是负数或零，则无论您使 k 多么小，不等式都在该最小值之后成立。

这些都描述了上限，虽然有点违反直觉，但 Little-o 是更强的陈述。如果 f - o(g) 与 f - O(g) 相比， f 和 g
的增长率之间的差距要大得多。

差异的一个例子是：f - O(f) 为真，但 f - o(f) 为假。因此，Big-O 可以理解为“f - O(g) 意味着 f 的渐近增长不快于
g’s”，而“f - o(g) 意味着 f 的渐近增长严格慢于 g’s”。这就像<=对<。

更具体地说，如果 g(x) 的值是 f(x) 值的恒定倍数，则 f - O(g) 为真。这就是为什么在使用 big-O 表示法时可以删除常量的原因。

但是，要使 f - o(g) 为真，则 g 必须在其公式中包含 x 的更高 次方 ，因此 f(x) 和 g(x) 之间的相对间隔实际上必须随着 x
变大而变大.

要使用纯数学示例（而不是指算法）：

以下对于 Big-O 是正确的，但如果您使用 little-o，则不正确：

• x² ∈ O(x²)
• x² ∈ O(x² + x)
• x² ∈ O(200 * x²)

以下情况适用于 little-o：

• x² ∈ o(x³)
• x² ∈ o(x!)
• ln(x) ∈ o(x)

请注意，如果 f ∈ o(g)，这意味着 f ∈ O(g)。例如 x² ∈ o(x³) 所以 x² ∈ O(x³) 也是正确的，（再次认为 O as<=和 o as <）