为了计算第n个素数，我知道两个主要的变体。

The straightforward way

也就是说，从找到的所有素数开始计数，直到找到所需的n th为止。

可以使用不同级别的复杂性和效率来完成此操作，并且在概念上有两种不同的实现方法。首先是

依次测试所有数字的素性

这可以通过类似的驱动程序功能来完成

public static int nthPrime(int n) {
    int candidate, count;
    for(candidate = 2, count = 0; count < n; ++candidate) {
        if (isPrime(candidate)) {
            ++count;
        }
    }
    // The candidate has been incremented once after the count reached n
    return candidate-1;
}

而决定效率的有趣部分是isPrime功能。

质数检查的一种明显方法是，将质数定义为大于1的数字，该数只能被1以及我们在学校学习到的数字整除，¹

Trial division

将定义直接转换为代码是

private static boolean isPrime(int n) {
    for(int i = 2; i < n; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            // We are naive, but not stupid, if
            // the number has a divisor other
            // than 1 or itself, we return immediately.
            return false;
        }
    }
    return true;
}

但是，你很快就会发现，如果尝试使用它，它的简单性会伴随缓慢。通过该素数测试，你可以在几毫秒内找到第1000 个素数（7919）（在我的计算机上大约为20），但是找到10000 个素数104729，需要几秒钟（〜2.4s），第100000 个素数，1299709 ，几分钟（大约5分钟），百万分之一的素数15485863，大约需要八个半小时，而百万分之一的素数，179424673，则需要数周，依此类推。运行时复杂度要比二次方差-Θ（n²* log n）。

因此，我们希望加快原始性测试的速度。许多人采取的一个步骤是认识到n（除n自身以外）的除数最多为n/2。如果我们使用该事实，n/2而不是只让试算循环运行，n-1算法的运行时间将如何变化？对于复合数，循环下限没有任何改变。对于素数，试行次数减少了一半，因此总体而言，运行时间应减少一个小于2的因数。如果尝试一下，你会发现运行时间几乎精确地减少了一半，因此几乎所有尽管有更多的复合词而不是素数，但是花时间验证素数的素数。

现在，如果我们想找到百万分之一的质数，那并没有太大帮助，所以我们必须做得更好。尝试进一步降低循环限制，让我们看看n/2实际需要多少个数字。如果n/2是的除数n，则n/2是整数，换句话说，n可以被2整除。但是，循环不会超过2，因此它永远不会（除了n = 4）到达n/2。乔利（Jolly）好，那么下一个最大的除数是n多少？为什么，n/3当然。但是n/3只能将其除以n整数，换言之，如果n被3整除。那么循环将在3（或之前，在2）退出，并且永远不会到达n/3（除外n = 9）。下一个最大的除数…

等一下 我们有2 <-> n/2和3 <-> n/3。n的除数成对出现。

如果我们考虑对(d, n/d)相应的除数n，要么d = n/d，即d = √n，或其中之一，比方说d，比其他较小。但是然后d*d < d*(n/d) = n和d < √n。每对对应的除数n包含（至少）一个不超过的除数√n。

如果 n 是复合的，则其最小平凡因数不超过 √n。

因此，我们可以将循环限制降低到√n，从而降低算法的运行时复杂度。现在应该是Θ（n 1.5 *√（log n）），但是从经验上看，它似乎可以更好地扩展-但是，没有足够的数据可以从经验结果中得出可靠的结论。

这样就可以在大约16秒内找到百万分之一的质数，在不到9分钟的时间内找到百万分之一的质数，并且在大约四个半小时内可以找到百万分之一的质数。这仍然很慢，但与十年左右的时间相去甚远，这需要天真的审判部门。

由于存在素数的平方和两个近似素数的乘积，例如323 = 17 * 19，因此我们不能减小下面的试验除法循环的极限√n。因此，在保持试验划分的同时，我们现在必须寻找其他方法来改进算法。

一个容易看出的事情是，除2以外的其他素数都不是偶数，因此在处理完2之后我们只需要检查奇数即可。但是，这并没有太大的区别，因为偶数是最便宜的。复合-并且仍然花费大量时间来检验素数的素性。但是，如果将偶数视为候选除数，则会看到如果n被偶数整除，则n本身必须是偶数，因此（除2外）在除以大于2的任何偶数之前将被识别为合成数被尝试。因此，算法中发生的所有大于2的偶数除法必须保留非零余数。因此，我们可以忽略这些除法，仅检查2的除数，并检查3到3的奇数。√n。这将确定一个数字为质数或复合数所需的除法数减少了一半（并不完全是），因此将运行时间减半了。这是一个好的开始，但是我们可以做得更好吗？

另一个大数字家族是3的倍数。我们执行的每三等分乘以3的倍数，但是如果n可以被其中一个整除，那么它也可以被3整除，因此不能除以9、15、21， …我们在算法中执行的运算将永远保留0的余数。那么，如何跳过这些除法呢？好吧，被2或3整除的数字恰好是形式的数字6*k ± 1。从5开始（因为我们只对大于1的数字感兴趣），所以它们是5、7、11、13、17、19，…，从一个步到下一个步在2和4之间交替，即很容易，所以我们可以使用

private static boolean isPrime(int n) {
    if (n % 2 == 0) return n == 2;
    if (n % 3 == 0) return n == 3;
    int step = 4, m = (int)Math.sqrt(n) + 1;
    for(int i = 5; i < m; step = 6-step, i += step) {
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

这使我们又提高了将近1.5倍，因此我们需要大约一个半小时才能达到百万分之一的质数。

如果我们继续这条路线，则下一步是消除5的倍数。数字互质为2、3和5的形式是

30*k + 1, 30*k + 7, 30*k + 11, 30*k + 13, 30*k + 17, 30*k + 19, 30*k + 23, 30*k + 29

因此我们只需要将每三十个数字除以八（再加上三个最小的质数）即可。从一个步骤到下一个步骤（从7开始）循环到4、2、4、2、4、6、2、6。这仍然很容易实现，并且可以将速度提高1.25倍（减去更复杂的代码）。更进一步，将消除7的倍数，在每210个数字中除48个，然后除以11（480/2310），13（5760/30030），依此类推。p消除了倍数的每个素数都会产生（几乎）的加速p/(p-1)，因此返回率降低，而成本（代码复杂度，用于步骤的查找表的空间）随每个素数而增加。

通常，在消除了六个或七个素数（甚至更少）的倍数之后，很快就会停止。但是，在这里，我们可以进行到最后，当所有质数的倍数都被消除并且仅保留质数作为候选除数时。由于我们按顺序查找所有素数，因此在需要将每个素数用作候选除数之前就可以找到它们，然后可以将其存储以备将来使用。这将算法复杂度降低到-如果我没有计算错的话-O（n 1.5 /√（log n））。以用于存储素数的空间使用为代价。

使用试除法，即尽其所能，你必须尝试将所有素数√n除以或第一次除法n来确定的素数n。在大约半小时内即可找到百万分之一的质数。

那怎么样

快速素数测试

质数具有其他的数论特性，而不是通常没有复数的平凡除数。如果可以快速检查这些属性，它们可以构成概率或确定性素数测试的基础。该原型财产与皮埃尔·德·费马，谁，在早期的17名相关个世纪，发现

如果p为素数，则为所有p（a p -a）的除数a。

这就是费马的所谓“小定理”，用等价的形式表示

让它p成为素数，a不能被整除p。然后p除以p- 1-1。

大多数广泛的快速原始性检验（例如Miller-Rabin）的基础以及其变体或类似物的出现甚至更多（例如Lucas-Selfridge）。

因此，如果我们想知道一个不太小的奇数n是否是质数（通过试验除法有效地处理了偶数和小数），我们可以选择a不是倍数的任何数字（> 1）n，例如2和检查是否n除以n-1-1。由于n-1变得很大，所以最有效的方法是检查 a^(n-1) ≡ 1 (mod n)，即通过模幂。如果这种一致性不成立，我们就知道这n是复合的。但是，如果成立，我们就不能断定n是质数，例如2^340 ≡ 1 (mod 341)，而是341 = 11 * 31复合数。这样的复合数n，a^(n-1) ≡ 1 (mod n)称为基的Fermat伪素数a。

但是这种情况很少见。给定任何基础a > 1，尽管有无限数量的Fermat伪a素数作为基础，但它们比实际素数少得多。例如，在100000以下，只有78个base-2 Fermat伪素数和76 base-3 Fermat伪素数，但是9592个素数。因此，如果选择一个任意的奇数n > 1和一个任意的基数a > 1并找到a^(n-1) ≡ 1 (mod n)，则很有可能n实际上是质数。

但是，我们处在稍微不同的情况下，我们n只能选择a。因此，对于一个奇怪的组合n，有多少a，1 < a < n-1可以a^(n-1) ≡ 1 (mod n)持有？不幸的是，有复合数字-Carmichael数-使得对的每个素 a数都具有同余性n。这意味着要通过费马检验将Carmichael数识别为复合数，我们必须选择一个基数，该基数是n的主要除数之一的倍数-可能没有很多这样的倍数。

但是我们可以加强费马测试，以便更可靠地检测复合材料。如果p是奇数素数，请写p-1 = 2*m。然后，如果0 < a < p，

a^(p-1) - 1 = (a^m + 1) * (a^m - 1)

并p精确地将两个因子之一相除（两个因子相差2，因此它们的最大公约数是1或2）。如果m是偶数，我们可以a^m - 1用相同的方式拆分。继续，如果p-1 = 2^s * k有k奇数，写

a^(p-1) - 1 = (a^(2^(s-1)*k) + 1) * (a^(2^(s-2)*k) + 1) * ... * (a^k + 1) * (a^k - 1)

然后p精确地划分因素之一。这引起了强大的费马测试，

设n > 2一个奇数。写n-1 = 2^s * k有k奇怪。鉴于任何a有1 < a < n-1，如果

1. a^k ≡ 1 (mod n) 要么
2. a^((2^j)*k) ≡ -1 (mod n)对于任何j与0 <= j < s

然后n是一个强（Fermat）可能的基本素数a。复合的强基础a（Fermat）可能素数称为基础的强（Fermat）伪素数a。强Fermat伪素甚至比普通的Fermat伪素稀有，低于1000000，有78498个素，245个base-2 Fermat伪素和46个base-2强Fermat伪素。更重要的是，对于任何奇怪的组合n，最多有(n-9)/4基地1 < a < n-1的这n是一个强大的费马伪素。

因此，如果n是奇数合成，则在1和（不包括边界）之间随机选择碱基的情况下，n通过k强Fermat检验的概率n-1小于1/4^k。

一个强大的费马测试需要O（log n）的步骤，每个步骤涉及号码之一或两个乘法与O（log n）的位，所以复杂度为O（（log n）的^ 3）与幼稚乘法[用于巨大n，更复杂的乘法算法可能值得]。

Miller-Rabin检验是具有随机选择碱基的k倍强费马检验。这是一个概率测试，但是对于足够小的范围，已知碱基的简短组合会给出确定的结果。

强大的Fermat测试是确定性APRCL测试的一部分。

建议在进行此类测试之前先进行前几个小素数的试验划分，因为划分相对便宜，并且可以淘汰大多数复合材料。

对于找到n第一个素数的问题，在可行的范围内测试所有数字的范围内，存在已知的基数组合，这些基数可以使多重强费马检验正确，从而可以提供更快的-O（n *（log n ）4）-算法。

对于n < 2^32，基数2、7和61足以验证素数。使用它，大约六分钟内即可找到亿万个质数。

用主要除数（Eratosthenes筛子）消除复合材料

除了顺序研究数字并检查每个数字是否都是素数之外，还可以将整个相关数字视为一个整体，并一次性消除给定素数的倍数。这被称为Eratosthenes筛网：

查找素数不超过 N

1. 列出所有数字，从2到 N
2. 对于k2到N：中的每一个：如果k尚未去除，则为质数；划掉k合成的所有倍数
   质数是列表中没有舍去的数字。

该算法与试验划分从根本上不同，尽管两者均直接使用素数的可除性表征，这与Fermat检验和使用素数其他属性的类似测试形成对比。

在试验除法中，每个数n与所有不超过的较小√n素数和最小除数的素数配对n。由于大多数复合材料的主因数都很小，因此平均而言，检测复合材料很便宜。但是测试素数很昂贵，因为下面有很多素数√n。尽管合成词的数量比素数多得多，但是测试素数的成本非常高，以至于它完全支配了整个运行时间，并使试验划分成为一种相对较慢的算法。小于NO（N 1.5 /（log N）²）步的所有数字的尝试除法。

在筛子中，每个组合n都与其所有主除数配对，但仅与这些配对。因此，质数是便宜的数字，它们一次只被查看，而复合材料则更昂贵，它们被多次划掉。可能有人认为，由于筛子包含的“昂贵”数字比“便宜”的数字多，因此总体而言是一种不好的算法。但是，一个合成数没有很多不同的素数除数-的不同素数除数受n限制log n，但通常要小得多，该数字的不同素数除数的平均值<= n为log log n -因此，即使是筛子上的“昂贵”数字，平均也不会比试验部门的“便宜”数字昂贵（或几乎没有）。

筛选N每个质数p的Θ(N/p)倍数要相交，因此相交的总数为Θ(∑ (N/p)) = Θ(N * log (log N))。与使用更快的素数测试的试验划分或顺序测试相比，这产生了更快的算法来查找素N数。

但是，筛子有一个缺点，它使用O(N)内存。（但是使用分段筛，可以在O(√N)不增加时间复杂度的情况下将其减小。）

为了找到n第一个素数，而不是最多的素数N，还存在一个问题，即事先不知道筛子应该到达多远。

后者可以使用素数定理求解。PNT说

π(x) ~ x/log x (equivalently: lim π(x)*log x/x = 1),

其中π(x)是素数不超过的数目x（在这里和下文中，log必须是自然对数，对于复杂的算法并不重要选择哪种碱为对数）。由此可知p(n) ~ n*log n，哪里p(n)是n第素数，并且p(n)通过更深入的分析就可以知道有一个好的上限，特别是

n*(log n + log (log n) - 1) < p(n) < n*(log n + log (log n)), for n >= 6.

因此，可以将其用作筛分极限，不会超过目标。

的O(N)空间需求可通过使用分段筛来克服。然后，可以记录下面的质数√N以减少O(√N / log N)内存消耗，并使用长度增加的段（当滤网接近N时为O（√N））。

如上所述，对算法进行了一些简单的改进：

1. 开始舍弃的p仅是的倍数p²，而不是2*p
2. 从筛子上消除偶数
3. 从筛子上消除更多小质数的倍数
   这些方法都不能降低算法的复杂性，但是它们都可以极大地减少常数因子（与试验分割一样，p对于较大的变量，消除乘积的倍数会导致较小的加速，p而对较小的变量则增加的代码复杂度p）。

使用前两个改进产生

// Entry k in the array represents the number 2*k+3, so we have to do
// a bit of arithmetic to get the indices right.
public static int nthPrime(int n) {
    if (n < 2) return 2;
    if (n == 2) return 3;
    int limit, root, count = 1;
    limit = (int)(n*(Math.log(n) + Math.log(Math.log(n)))) + 3;
    root = (int)Math.sqrt(limit) + 1;
    limit = (limit-1)/2;
    root = root/2 - 1;
    boolean[] sieve = new boolean[limit];
    for(int i = 0; i < root; ++i) {
        if (!sieve[i]) {
            ++count;
            for(int j = 2*i*(i+3)+3, p = 2*i+3; j < limit; j += p) {
                sieve[j] = true;
            }
        }
    }
    int p;
    for(p = root; count < n; ++p) {
        if (!sieve[p]) {
            ++count;
        }
    }
    return 2*p+1;
}

在大约18秒内找到亿万个质数2038074743。通过存储打包的标志（每个标志一位）而不是booleans，可以将这段时间减少到大约15秒（此处为YMMV），因为减少的内存使用量可以提供更好的缓存位置。

打包标志，也消除3的倍数，并使用位旋转来更快地进行计数，

// Count number of set bits in an int
public static int popCount(int n) {
    n -= (n >>> 1) & 0x55555555;
    n = ((n >>> 2) & 0x33333333) + (n & 0x33333333);
    n = ((n >> 4) & 0x0F0F0F0F) + (n & 0x0F0F0F0F);
    return (n * 0x01010101) >> 24;
}

// Speed up counting by counting the primes per
// array slot and not individually. This yields
// another factor of about 1.24 or so.
public static int nthPrime(int n) {
    if (n < 2) return 2;
    if (n == 2) return 3;
    if (n == 3) return 5;
    int limit, root, count = 2;
    limit = (int)(n*(Math.log(n) + Math.log(Math.log(n)))) + 3;
    root = (int)Math.sqrt(limit);
    switch(limit%6) {
        case 0:
            limit = 2*(limit/6) - 1;
            break;
        case 5:
            limit = 2*(limit/6) + 1;
            break;
        default:
            limit = 2*(limit/6);
    }
    switch(root%6) {
        case 0:
            root = 2*(root/6) - 1;
            break;
        case 5:
            root = 2*(root/6) + 1;
            break;
        default:
            root = 2*(root/6);
    }
    int dim = (limit+31) >> 5;
    int[] sieve = new int[dim];
    for(int i = 0; i < root; ++i) {
        if ((sieve[i >> 5] & (1 << (i&31))) == 0) {
            int start, s1, s2;
            if ((i & 1) == 1) {
                start = i*(3*i+8)+4;
                s1 = 4*i+5;
                s2 = 2*i+3;
            } else {
                start = i*(3*i+10)+7;
                s1 = 2*i+3;
                s2 = 4*i+7;
            }
            for(int j = start; j < limit; j += s2) {
                sieve[j >> 5] |= 1 << (j&31);
                j += s1;
                if (j >= limit) break;
                sieve[j >> 5] |= 1 << (j&31);
            }
        }
    }
    int i;
    for(i = 0; count < n; ++i) {
        count += popCount(~sieve[i]);
    }
    --i;
    int mask = ~sieve[i];
    int p;
    for(p = 31; count >= n; --p) {
        count -= (mask >> p) & 1;
    }
    return 3*(p+(i<<5))+7+(p&1);
}

在大约9秒钟内找到亿分之一的质数，这并不长。

还有其他类型的素数筛，尤其是Atkin筛，它利用了一个事实，即（有理数）素数的某些同余类是ℚ的一些二次扩展的代数整数环中的复合。这里不是扩展数学理论的地方，足以说Atkin筛比Eratosthenes筛具有更低的算法复杂度，因此对于较大的限制较为理想（对于较小的限制，未过度优化的Atkin筛具有更高的开销，因此可能比同等优化的Eratosthenes筛子慢）。DJ Bernstein的primegen库（用C编写）已针对2 32以下的数字进行了优化，并在约1.1秒内找到了亿分之一的质数（在此）。

快速的方法

如果我们只是想找到n个素数，存在也发现所有的小素数没有内在价值。如果我们可以跳过其中的大多数，则可以节省大量时间和工作。给定一个好的近似a(n)的n日黄金p(n)，如果我们有一个快速的方法来计算质数的数目π(a(n))不超过a(n)，我们就可以筛小范围的上方或下方a(n)，以确定之间的一些缺失或多余的素数a(n)和p(n)。

我们已经看到了p(n)上面的一个容易计算的相当好的近似值，我们可以采取

a(n) = n*(log n + log (log n))

例如。

一个好的计算方法π(x)是Meissel-Lehmer方法，该方法可以π(x)在大致O(x^0.7)时间内进行计算（确切的复杂程度取决于实现方式，Lagarias，Miller，Odlyzko，Deléglise和Rivat的改进使得一个计算的结果π(x)为O（x 2/3 /log² x）时间）。

从简单的近似开始a(n)，我们进行计算e(n) = π(a(n)) - n。根据素数定理，附近的素数的密度a(n)约为1/log a(n)，因此我们期望p(n)接近，因此b(n) = a(n) - log a(n)*e(n)我们将筛选比稍大的范围log a(n)*e(n)。为了p(n)使筛分范围内的置信度更高，可以将范围增加2倍，例如，几乎可以肯定该范围足够大。如果范围似乎太大，则可以使用更好的近似值b(n)来代替a(n)，计算π(b(n))和进行迭代f(n) = π((b(n)) - n。通常，|f(n)|将小于|e(n)|。如果f(n)近似为-e(n)，c(n) = (a(n) + b(n)) / 2则将是一个更好的近似p(n)。仅在极少数情况下f(n)由于非常接近e(n)（并且不是非常接近于0），因此找到足够好的近似值以p(n)使得最终的筛分阶段可以在与计算相当的时间内完成π(a(n))是一个问题。

通常，在对初始近似值进行一到两次改进之后，要筛分的范围足够小，以使筛分阶段的复杂度为O（n ^ 0.75）或更高。

此方法在不到8秒的时间内找到了亿万个质数，在10 秒内找到了10 12个质数，即29996224275833。

tl; dr：找到n第一个素数可以有效地完成，但是你想要的效率越高，涉及的数学越多。

我为这里准备的大多数讨论的算法准备了 Java代码，以防有人想玩弄它们。

¹撇开对过度感兴趣的灵魂的评论：现代数学中使用的质数的定义是不同的，适用于更一般的情况。如果我们使学校的定义包含负数-如果数字既不是1也不是-1并且只能被1，-1本身及其负数整除，那么它是质数-它定义了（对于整数）当今称为不可约元素但是，对于整数，素数和不可约元素的定义是一致的。