当您使用Newton-Raphson计算平方根时，您实际上想使用迭代来找到倒数平方根（此后，您可以简单地乘以输入值（并舍入四舍五入）以产生平方根）。

更准确地说：我们使用函数f(x) = x^-2 - n。显然，如果f(x) = 0，则x = 1/sqrt(n)。这引起了牛顿迭代：

x_(i+1) = x_i - f(x_i)/f'(x_i)
        = x_i - (x_i^-2 - n)/(-2x_i^-3)
        = x_i + (x_i - nx_i^3)/2
        = x_i*(3/2 - 1/2 nx_i^2)

注意（与平方根的迭代不同），平方根的倒数不涉及除法运算，因此通常效率更高。

我在关于鸿沟的问题中提到，您应该查看现有的软浮动库，而不是重新发明轮子。该建议也适用于此。此功能已在现有的软浮点库中实现。

编辑：提问似乎依然混淆，让我们工作的例子：sqrt(612)。 612是1.1953125 x 2^9（或b1.0011001 x 2^9，如果您更喜欢二进制）。拉出指数（9）的偶数部分，将输入写为f * 2^(2m)，其中m是整数，f并且在[1,4）范围内。然后我们将有：

sqrt(n) = sqrt(f * 2^2m) = sqrt(f)*2^m

将这个减少应用于我们的例子给出f = 1.1953125 * 2 = 2.390625（b10.011001）和m = 4。现在进行牛顿-
拉普森迭代x = 1/sqrt(f)，使用0.5的初始猜测值进行查找（正如我在评论中指出的那样，该猜测值收敛于所有f，但是使用线性近似作为初始猜测值可以做得更好）：

x_0 = 0.5
x_1 = x_0*(3/2 - 1/2 * 2.390625 * x_0^2)
    = 0.6005859...
x_2 = x_1*(3/2 - 1/2 * 2.390625 * x_1^2)
    = 0.6419342...
x_3 = 0.6467077...
x_4 = 0.6467616...

因此，即使有了（相对较差的）初始猜测，我们也可以快速收敛到的真实值1/sqrt(f) = 0.6467616600226026。

现在我们简单地组装最终结果：

sqrt(f) = x_n * f = 1.5461646...
sqrt(n) = sqrt(f) * 2^m = 24.738633...

并检查：sqrt（612）= 24.738633 …

显然，如果要正确舍入，则需要仔细分析以确保在计算的每个阶段都具有足够的精度。这需要仔细的簿记，但这不是火箭科学。您只需保持谨慎的错误界限，并通过算法传播它们。

如果要纠正舍入而不显式检查残差，则需要将sqrt（f）计算为2p +
2位的精度（其中p是源和目标类型的精度）。但是，您也可以采用将sqrt（f）计算为p位多一点的策略，对该值取平方，并在必要时将尾随位调整一位（这通常更便宜）。

sqrt很不错，因为它是一元函数，这使得在商品硬件上对单精度进行详尽的测试成为可能。

您可以sqrtf在opensource.apple.com上找到OS
X软浮点函数，该函数使用上述算法（我写了它，发生了）。它是根据APSL许可的，可能适合或不适合您的需求。