自然数集N在加法和减法下是封闭的：

N + N = N
N - N = N

这意味着两个自然数的加法或减法也是自然数（考虑到0 - 1is 0和not -1，我们不能有负自然数）。

但是，自然数集N在关系运算下不会关闭：

N < N = {0, 1}
N > N = {0, 1}

这意味着比较两个自然数的结果是真实性（即1）或虚假性（即0）。

因此，我们将布尔值集（即{0, 1}）视为自然数的受限集（即N）。

false = 0
true  = incr(false)

我们必须回答的第一个问题是“我们如何对if语句进行编码，以便我们可以基于真实性或虚假性进行分支？” 答案很简单，我们使用以下loop操作：

isZero(x) {
    y = true
    loop x { y = false }
    return y
}

如果循环条件为true（即1），则循环仅执行一次。如果循环条件为false（即0），则循环不会执行。我们可以用它来编写分支代码。

那么，我们如何定义关系运算呢？事实证明，所有内容都可以通过以下方式定义lte：

lte(x, y) {
    z = sub(x, y)
    z = isZero(z)
    return z
}

我们知道这x ≥ y与相同y ≤ x。因此：

gte(x, y) {
    z = lte(y, x)
    return z
}

我们知道，如果x > y为真x ≤ y则为假。因此：

gt(x, y) {
    z = lte(x, y)
    z = not(z)
    return z
}

我们知道这x < y与相同y > x。因此：

lt(x, y) {
    z = gt(y, x)
    return z
}

我们知道，如果x ≤ y和y ≤ x再x = y。因此：

eq(x, y) {
    l = lte(x, y)
    r = lte(y, x)
    z = and(l, r)
    return z
}

最后，我们知道如果x = y为true，x ≠ y则为false。因此：

ne(x, y) {
    z = eq(x, y)
    z = not(z)
    return z
}

现在，我们需要做的就是定义以下功能：

1. 该sub函数定义如下：

   sub(x, y) {
   loop y
       { x = decr(x) }
   return x
   

   }

   decr(x) {
   y = 0
   z = 0

   loop x {
       y = z
       z = incr(z)
   }
   
   return y
   

   }

2. 该not功能与该isZero功能相同：

   not(x) {
   y = isZero(x)
   return y
   

   }

3. 该and功能与该mul功能相同：

   and(x, y) {
   z = mul(x, y)
   return z
   

   }

   mul(x, y) {
   z = 0
   loop x { z = add(y, z) }
   return z
   }

   add(x, y) {
   loop x
   { y = incr(y) }
   return y
   }

这就是您所需要的。希望有帮助。