将数字提高到巨大的指数

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将数字提高到巨大的指数

algorithm

给我数字3和一个变量’n’，它可以高达1000000000000（十亿）。我必须打印的答案3^n modulo 100003。我尝试了以下方法：

我尝试使用函数std::pow(3,n)，但不适用于大指数（在处理过程中无法应用模数）。
我尝试实现自己的函数，该函数会将数字3提高到n，因此我可以在需要时应用模，但是当用非常大的数字进行测试时，这种方法被证明太慢了。
最后，我尝试对数字’n’进行素分解，然后使用’n’因子（及其出现的次数）来建立答案，这似乎是我能想到的最佳方法（如果是）正确）。问题是我要为已经是质数很大的人做什么？

因此，这些就是我的想法，如果有人认为有更好的方法（或者我的方法之一是最佳方法），我将不胜感激。

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2020-07-28

共1个答案

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利用模块化算术的特性

(a × b) modulo M == ((a module M) × (b modulo M)) modulo M

通过使用上述乘法规则

(a^n) modulo M 
= (a × a × a × a ... × a) modulo M 
= ((a module M) × (a modulo M) × (a modulo M) ... × (a modulo M)) modulo M

通过分治法计算结果。重复关系将是：

f(x, n) = 0                     if n == 0

f(x, n) = (f(x, n / 2))^2       if n is even
f(x, n) = (f(x, n / 2))^2 * x   if n is odd

这是C ++实现：

int powerUtil(int base, int exp, int mod) {
    if(exp == 0) return 1;
    int ret = powerUtil(base, exp / 2, mod) % mod;
    ret = 1LL * ret * ret % mod;
    if(exp & 1) {
        ret = 1LL * ret * base % mod;
    }
    return ret;
}

double power(int base, int exp, int mod) {
    if(exp < 0) {
        if(base == 0) return DBL_MAX; // undefined
        return 1 / (double) powerUtil(base, -exp, mod);
    }
    return powerUtil(base, exp, mod);
}

2020-07-28