三边测量是找到三个球体相交区域的中心的过程。必须知道三个球体中每一个的中心点和半径。

让我们考虑您的三个示例中心点P1 [-1,1]，P2 [1,1]和P3 [-1，-1]。第一个要求是P1’在原点，因此让我们通过向所有三个相加偏移向量V
[1，-1]来相应地调整点：

P1' = P1 + V = [0, 0]
P2' = P2 + V = [2, 0]
P3' = P3 + V = [0,-2]

注意：调整后的点由’（主要）注释表示。

P2’也必须位于x轴上。在这种情况下，它已经存在，因此无需进行任何调整。

我们假设每个球体的半径为2。

现在，我们有3个方程（给定的）和3个未知数（相交点的X，Y，Z）。

解决P4’x：

x = (r1^2 - r2^2 + d^2) / 2d  //(d,0) are coords of P2'
x = (2^2 - 2^2 + 2^2) / 2*2
x = 1

解决P4’y：

y = (r1^2 - r3^2 + i^2 + j^2) / 2j - (i/j)x //(i,j) are coords of P3'
y = (2^2 - 2^2 + 0 + -2^2) / 2*-2 - 0
y = -1

对于2D问题，请忽略z。

P4’= [1，-1]

现在，我们通过减去偏移向量V将其转换回原始坐标空间：

P4 = P4’-V = [0,0]

解点P4位于预期的原点。

本文的后半部分描述一种表示一组点的方法，其中P1不在原点或P2不在x轴上，以使它们适合那些约束。我更喜欢将其视为翻译，但是这两种方法将导致相同的解决方案。

编辑：将P2’旋转到x轴

如果将P1平移到原点后P2’不在x轴上，则必须在视图上旋转。

首先，让我们创建一些新的矢量作为示例：P1 = [2,3] P2 = [3,4] P3 = [5,2]

请记住，我们必须首先将P1转换为原点。与往常一样，偏移矢量V为-P1。在这种情况下，V = [-2，-3]

P1' = P1 + V = [2,3] + [-2,-3] = [0, 0]
P2' = P2 + V = [3,4] + [-2,-3] = [1, 1]
P3' = P3 + V = [5,2] + [-2,-3] = [3,-1]

要确定旋转角度，我们必须找到P2’和[1,0]（x轴）之间的角度。

我们可以使用点积相等：

A dot B = ||A|| ||B|| cos(theta)

当B为[1,0]时，可以简化：点B始终只是A的X分量，而|| B || （B的大小）始终乘以1，因此可以忽略。

现在我们有Ax = || A || cos（theta），我们可以将其重新排列为最终方程：

theta = acos(Ax / ||A||)

或者在我们的情况下：

theta = acos(P2'x / ||P2'||)

我们使用|| A ||计算P2’的大小。= sqrt（Ax + Ay + Az）

||P2'|| = sqrt(1 + 1 + 0) = sqrt(2)

插入我们可以解决theta

theta = acos(1 / sqrt(2)) = 45 degrees

现在，让我们使用旋转矩阵将场景旋转-45度。由于P2’y为正，并且旋转矩阵逆时针旋转，因此我们将使用负旋转将P2与x轴对齐（如果P2’y为负，则不要取反theta）。

R(theta) = [cos(theta) -sin(theta)]
           [sin(theta)  cos(theta)]

  R(-45) = [cos(-45) -sin(-45)]
           [sin(-45)  cos(-45)]

我们将使用双质数符号’‘来表示已平移和旋转的向量。

P1'' = [0,0] (no need to calculate this one)

P2'' = [1 cos(-45) - 1 sin(-45)] = [sqrt(2)] = [1.414]
       [1 sin(-45) + 1 cos(-45)] = [0]       = [0]

P3'' = [3 cos(-45) - (-1) sin(-45)] = [sqrt(2)]    = [ 1.414]
       [3 sin(-45) + (-1) cos(-45)] = [-2*sqrt(2)] = [-2.828]

现在您可以使用P1’‘，P2’‘和P3’‘求解P4’‘。将反向旋转应用于P4’‘以获取P4’，然后反向转换以获取P4，即您的中心点。

要撤消旋转，请将P4’‘乘以R（-theta），在这种情况下为R（45）。要撤消转换，请减去偏移向量V，该偏移向量V与添加P1相同（假定您最初使用-P1作为您的V）。