我不确定平方的乘方是否照顾负指数。我实现了以下仅适用于正数的代码。
#include <stdio.h> int powe(int x, int exp) { if (x == 0) return 1; if (x == 1) return x; if (x&1) return powe(x*x, exp/2); else return x*powe(x*x, (exp-1)/2); }
查看https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring并没有帮助，因为以下代码似乎不正确。
Function exp-by-squaring(x, n ) if n < 0 then return exp-by-squaring(1 / x, - n ); else if n = 0 then return 1; else if n = 1 then return x ; else if n is even then return exp-by-squaring(x * x, n / 2); else if n is odd then return x * exp-by-squaring(x * x, (n - 1) / 2).
编辑：感谢amit此解决方案适用于负数和正数：
float powe(float x, int exp) { if (exp < 0) return powe(1/x, -exp); if (exp == 0) return 1; if (exp == 1) return x; if (((int)exp)%2==0) return powe(x*x, exp/2); else return x*powe(x*x, (exp-1)/2); }
对于 分数指数， 我们可以执行以下操作（Spektre方法）：
假设您有x ^ 0.5，则可以通过此方法轻松计算平方根：从0开始到x / 2，并继续检查x ^ 2是否等于二分查找法中的结果。
因此，如果您有x ^（1/3），则必须将其替换if mid*mid <= n为x ，if mid*mid*mid <= n然后将获得x的立方根.x ^（1/4），x ^（1/5）都适用相同的内容，依此类推。在x ^（2/5）的情况下，我们可以做（x ^（1/5））^ 2并再次减少找到x的第5个根的问题。
if mid*mid <= n
if mid*mid*mid <= n
但是，到此时，您将意识到该方法仅在您 可以 将根转换为1 / x格式的情况下才有效。那么，如果我们无法转换，我们会陷入困境吗？不，我们仍然可以按照意愿继续前进。
将浮点转换为固定点，然后计算pow（a，b）。假设数字为0.6，将其转换为（24，8）浮点数，将得出Floor（0.6 * 1 << 8）= 153（10011001）。如您所知153代表小数部分，因此（10011001）在不动点上代表（2 ^ -1，0，0，2 ^ -3，2 ^ -4，0，0，2 ^ 7）。通过计算x在固定点的2、3、4和7根来计算pow（a，0.6）。计算后，我们再次需要除以1 << 8得出浮点数的结果。
在接受的答案中可以找到上述方法的代码。
整数示例适用于32位int算术，DWORD为32位unsigned int
int
DWORD
unsigned int
pow(x,y)=x^y
通常这样评估：
* Math.Pow（等等）如何实际工作
因此可以计算分数指数：pow(x,y) = exp2(y*log2(x))。这也可以在固定点上完成：
pow(x,y) = exp2(y*log2(x))
* 定点大号战俘
pow(a,b)=a^b
a>=0 , b>=0
通过平方很容易（您已经拥有）：
DWORD powuu(DWORD a,DWORD b) { int i,bits=32; DWORD d=1; for (i=0;i<bits;i++) { d*=d; if (DWORD(b&0x80000000)) d*=a; b<<=1; } return d; }
b>=0
只需添加几个ifs来处理负数a
if
a
int powiu(int a,DWORD b) { int sig=0,c; if ((a<0)&&(DWORD(b&1)) { sig=1; a=-a; } // negative output only if a<0 and b is odd c=powuu(a,b); if (sig) c=-c; return c; }
因此，如果b<0这样就意味着1/powiu(a,-b)您可以看到结果根本不是整数，因此可以忽略这种情况或返回浮点值或添加一个乘数变量（以便您可以PI使用纯Integer算术对方程进行求值）。这是浮动结果：
b<0
1/powiu(a,-b)
PI
float powfii(int a,int b) { if (b<0) return 1.0/float(powiu(a,-b)); else return powiu(a,b); }
b
您可以执行以下操作a^(1/bb)，其中bb整数是。实际上，这是扎根的，因此您可以使用二进制搜索来评估：
a^(1/bb)
bb
* `a^(1/2)` 是 `square root(a)` * `a^(1/bb)` 是 `bb_root(a)`
因此，请c从 MSB 到 LSB 进行二进制搜索，pow(c,bb)<=a然后评估是否保留bit原样。这是sqrt示例：
c
pow(c,bb)<=a
bit
sqrt
int bits(DWORD p) // count how many bits is p { DWORD m=0x80000000; int b=32; for (;m;m>>=1,b--) if (p>=m) break; return b; } DWORD sqrt(const DWORD &x) { DWORD m,a; m=(bits(x)>>1); if (m) m=1<<m; else m=1; for (a=0;m;m>>=1) { a|=m; if (a*a>x) a^=m; } return a; }
因此，现在只需更改if (a*a>x)with if (pow(a,bb)>x)，其中bb=1/b… b是您要寻找的小数指数，并且bb是整数。也是m结果的位数，因此更改m=(bits(x)>>1);为m=(bits(x)/bb);
if (a*a>x)
if (pow(a,bb)>x)
bb=1/b
m
m=(bits(x)>>1);
m=(bits(x)/bb);
[edit1]定点sqrt示例
//--------------------------------------------------------------------------- const int _fx32_fract=16; // fractional bits count const int _fx32_one =1<<_fx32_fract; DWORD fx32_mul(const DWORD &x,const DWORD &y) // unsigned fixed point mul { DWORD a=x,b=y; // asm has access only to local variables asm { // compute (a*b)>>_fx32_fract mov eax,a // eax=a mov ebx,b // ebx=b mul eax,ebx // (edx,eax)=eax*ebx mov ebx,_fx32_one div ebx // eax=(edx,eax)>>_fx32_fract mov a,eax; } return a; } DWORD fx32_sqrt(const DWORD &x) // unsigned fixed point sqrt { DWORD m,a; if (!x) return 0; m=bits(x); // integer bits if (m>_fx32_fract) m-=_fx32_fract; else m=0; m>>=1; // sqrt integer result is half of x integer bits m=_fx32_one<<m; // MSB of result mask for (a=0;m;m>>=1) // test bits from MSB to 0 { a|=m; // bit set if (fx32_mul(a,a)>x) // if result is too big a^=m; // bit clear } return a; } //---------------------------------------------------------------------------
所以这是无符号的定点。高位16是整数，低位16是小数部分。
16
DWORD(float(x)*float(_fx32_one))
float(DWORD(x))/float(_fx32_one))
fx32_mul(x,y)
x*y
fx32_sqrt(x)
sqrt(x)
在固定点上，您应该知道乘法的小数位移位：(a<<16)*(b<<16)=(a*b<<32)您需要向后移>>16以获得结果(a*b<<16)。结果也可能溢出32位，因此我64在汇编中使用位结果。
(a<<16)*(b<<16)=(a*b<<32)
>>16
(a*b<<16)
32
64
[edit2] 32位带符号定点Pow C ++示例
将前面的所有步骤放在一起时，应具有以下内容：
//--------------------------------------------------------------------------- //--- 32bit signed fixed point format (2os complement) //--------------------------------------------------------------------------- // |MSB LSB| // |integer|.|fractional| //--------------------------------------------------------------------------- const int _fx32_bits=32; // all bits count const int _fx32_fract_bits=16; // fractional bits count const int _fx32_integ_bits=_fx32_bits-_fx32_fract_bits; // integer bits count //--------------------------------------------------------------------------- const int _fx32_one =1<<_fx32_fract_bits; // constant=1.0 (fixed point) const float _fx32_onef =_fx32_one; // constant=1.0 (floating point) const int _fx32_fract_mask=_fx32_one-1; // fractional bits mask const int _fx32_integ_mask=0xFFFFFFFF-_fx32_fract_mask; // integer bits mask const int _fx32_sMSB_mask =1<<(_fx32_bits-1); // max signed bit mask const int _fx32_uMSB_mask =1<<(_fx32_bits-2); // max unsigned bit mask //--------------------------------------------------------------------------- float fx32_get(int x) { return float(x)/_fx32_onef; } int fx32_set(float x) { return int(float(x*_fx32_onef)); } //--------------------------------------------------------------------------- int fx32_mul(const int &x,const int &y) // x*y { int a=x,b=y; // asm has access only to local variables asm { // compute (a*b)>>_fx32_fract mov eax,a mov ebx,b mul eax,ebx // (edx,eax)=a*b mov ebx,_fx32_one div ebx // eax=(a*b)>>_fx32_fract mov a,eax; } return a; } //--------------------------------------------------------------------------- int fx32_div(const int &x,const int &y) // x/y { int a=x,b=y; // asm has access only to local variables asm { // compute (a*b)>>_fx32_fract mov eax,a mov ebx,_fx32_one mul eax,ebx // (edx,eax)=a<<_fx32_fract mov ebx,b div ebx // eax=(a<<_fx32_fract)/b mov a,eax; } return a; } //--------------------------------------------------------------------------- int fx32_abs_sqrt(int x) // |x|^(0.5) { int m,a; if (!x) return 0; if (x<0) x=-x; m=bits(x); // integer bits for (a=x,m=0;a;a>>=1,m++); // count all bits m-=_fx32_fract_bits; // compute result integer bits (half of x integer bits) if (m<0) m=0; m>>=1; m=_fx32_one<<m; // MSB of result mask for (a=0;m;m>>=1) // test bits from MSB to 0 { a|=m; // bit set if (fx32_mul(a,a)>x) // if result is too big a^=m; // bit clear } return a; } //--------------------------------------------------------------------------- int fx32_pow(int x,int y) // x^y { // handle special cases if (!y) return _fx32_one; // x^0 = 1 if (!x) return 0; // 0^y = 0 if y!=0 if (y==-_fx32_one) return fx32_div(_fx32_one,x); // x^-1 = 1/x if (y==+_fx32_one) return x; // x^+1 = x int m,a,b,_y; int sx,sy; // handle the signs sx=0; if (x<0) { sx=1; x=-x; } sy=0; if (y<0) { sy=1; y=-y; } _y=y&_fx32_fract_mask; // _y fractional part of exponent y=y&_fx32_integ_mask; // y integer part of exponent a=_fx32_one; // ini result // powering by squaring x^y if (y) { for (m=_fx32_uMSB_mask;(m>_fx32_one)&&(m>y);m>>=1); // find mask of highest bit of exponent for (;m>=_fx32_one;m>>=1) { a=fx32_mul(a,a); if (int(y&m)) a=fx32_mul(a,x); } } // powering by rooting x^_y if (_y) { for (b=x,m=_fx32_one>>1;m;m>>=1) // use only fractional part { b=fx32_abs_sqrt(b); if (int(_y&m)) a=fx32_mul(a,b); } } // handle signs if (sy) { if (a) a=fx32_div(_fx32_one,a); else a=0; /*Error*/ } // underflow if (sx) { if (_y) a=0; /*Error*/ else if(int(y&_fx32_one)) a=-a; } // negative number ^ non integer exponent, here could add test if 1/_y is integer instead return a; } //---------------------------------------------------------------------------
我已经像这样测试过：
float a,b,c0,c1,d; int x,y; for (a=0.0,x=fx32_set(a);a<=10.0;a+=0.1,x=fx32_set(a)) for (b=-2.5,y=fx32_set(b);b<=2.5;b+=0.1,y=fx32_set(b)) { if (!x) continue; // math pow has problems with this if (!y) continue; // math pow has problems with this c0=pow(a,b); c1=fx32_get(fx32_pow(x,y)); d=0.0; if (fabs(c1)<1e-3) d=c1-c0; else d=(c0/c1)-1.0; if (fabs(d)>0.1) d=d; // here add breakpoint to check inconsistencies with math pow }
a,b
x,y
c0
c1
d
希望并没有忘记一些琐碎的事情，但是看起来它运作正常。不要忘记固定点的精度非常有限，因此结果会有所不同…
