为什么这种简单的随机播放算法会产生偏差的结果？一个简单的原因是什么？

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为什么这种简单的随机播放算法会产生偏差的结果？一个简单的原因是什么？

algorithm

看来，这种简单的随机播放算法会产生偏差的结果：

# suppose $arr is filled with 1 to 52

for ($i < 0; $i < 52; $i++) { 
  $j = rand(0, 51);

  # swap the items

  $tmp = $arr[j];
  $arr[j] = $arr[i];
  $arr[i] = $tmp;
}

您可以尝试…而不是使用52，而是使用3（假设仅使用3张卡片），然后运行10,000次并计算结果，您将看到结果偏向某些模式…

问题是……将要发生的简单解释是什么？

正确的解决方案是使用类似

for ($i < 0; $i < 51; $i++) {  # last card need not swap 
  $j = rand($i, 51);        # don't touch the cards that already "settled"

  # swap the items

  $tmp = $arr[j];
  $arr[j] = $arr[i];
  $arr[i] = $tmp;
}

但是问题是……为什么第一种方法（似乎也是完全随机的）会使结果产生偏差？

更新1： 感谢这里的人们指出，它必须正确设置为rand（$ i，51）。

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2020-07-28

共1个答案

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这是这些替换的完整概率树。

假设您从序列123开始，然后我们将列举使用上述代码产生随机结果的所有各种方式。

123
 +- 123          - swap 1 and 1 (these are positions,
 |   +- 213      - swap 2 and 1  not numbers)
 |   |   +- 312  - swap 3 and 1
 |   |   +- 231  - swap 3 and 2
 |   |   +- 213  - swap 3 and 3
 |   +- 123      - swap 2 and 2
 |   |   +- 321  - swap 3 and 1
 |   |   +- 132  - swap 3 and 2
 |   |   +- 123  - swap 3 and 3
 |   +- 132      - swap 2 and 3
 |       +- 231  - swap 3 and 1
 |       +- 123  - swap 3 and 2
 |       +- 132  - swap 3 and 3
 +- 213          - swap 1 and 2
 |   +- 123      - swap 2 and 1
 |   |   +- 321  - swap 3 and 1
 |   |   +- 132  - swap 3 and 2
 |   |   +- 123  - swap 3 and 3
 |   +- 213      - swap 2 and 2
 |   |   +- 312  - swap 3 and 1
 |   |   +- 231  - swap 3 and 2
 |   |   +- 213  - swap 3 and 3
 |   +- 231      - swap 2 and 3
 |       +- 132  - swap 3 and 1
 |       +- 213  - swap 3 and 2
 |       +- 231  - swap 3 and 3
 +- 321          - swap 1 and 3
     +- 231      - swap 2 and 1
     |   +- 132  - swap 3 and 1
     |   +- 213  - swap 3 and 2
     |   +- 231  - swap 3 and 3
     +- 321      - swap 2 and 2
     |   +- 123  - swap 3 and 1
     |   +- 312  - swap 3 and 2
     |   +- 321  - swap 3 and 3
     +- 312      - swap 2 and 3
         +- 213  - swap 3 and 1
         +- 321  - swap 3 and 2
         +- 312  - swap 3 and 3

现在，第四列数字，即交换信息之前的那一列，包含最终结果以及27种可能的结果。

让我们计算一下每种模式发生了多少次：

123 - 4 times
132 - 5 times
213 - 5 times
231 - 5 times
312 - 4 times
321 - 4 times
=============
     27 times total

如果您运行无限次随机交换的代码，则模式132、213和231的发生频率将比模式123、312和321的发生频率高，这仅仅是因为代码交换的方式使得发生这种情况的可能性更大。

现在，您当然可以说，如果您运行代码30次（27 + 3），最终所有模式都会发生5次，但是在处理统计数据时，您必须考虑长期趋势。

这是C＃代码，探讨每种可能模式之一的随机性：

class Program
{
    static void Main(string[] args)
    {
        Dictionary<String, Int32> occurances = new Dictionary<String, Int32>
        {
            { "123", 0 },
            { "132", 0 },
            { "213", 0 },
            { "231", 0 },
            { "312", 0 },
            { "321", 0 }
        };

        Char[] digits = new[] { '1', '2', '3' };
        Func<Char[], Int32, Int32, Char[]> swap = delegate(Char[] input, Int32 pos1, Int32 pos2)
        {
            Char[] result = new Char[] { input[0], input[1], input[2] };
            Char temp = result[pos1];
            result[pos1] = result[pos2];
            result[pos2] = temp;
            return result;
        };

        for (Int32 index1 = 0; index1 < 3; index1++)
        {
            Char[] level1 = swap(digits, 0, index1);
            for (Int32 index2 = 0; index2 < 3; index2++)
            {
                Char[] level2 = swap(level1, 1, index2);
                for (Int32 index3 = 0; index3 < 3; index3++)
                {
                    Char[] level3 = swap(level2, 2, index3);
                    String output = new String(level3);
                    occurances[output]++;
                }
            }
        }

        foreach (var kvp in occurances)
        {
            Console.Out.WriteLine(kvp.Key + ": " + kvp.Value);
        }
    }
}

输出：

因此，尽管这个答案确实很重要，但它并不是纯粹的数学答案，您只需要评估随机函数的所有可能方式，并查看最终输出即可。

2020-07-28