需要明确的是，a ^^ b与a ^ b不同，它是指数塔a ^（a ^（a ^ … ^ a）），其中有b个a的副本，也称为四元数。令T（a，b）= a
^^ b，因此T（a，1）= a且T（a，b）= a ^ T（a，b-1）。

要计算T（a，b）mod m = a ^ T（a，b-1）mod m，我们要计算具有极大指数的mod
m的幂。您可以使用的是模幂运算是周期前的，周期前长度最大为m的素数分解中质数的最大幂，最大为log_2
m，周期长度除以phi（m），其中phi（m）是Euler的totient函数。实际上，周期长度除以m的Carmichael函数
lambda（m）。所以，

a^k mod m = a^(k+phi(m)) mod m as long as k>log_2 m.

请注意，a不一定是相对于m的素数（或以后相对于phi（m），phi（phi（m））等）。如果是，则可以说a ^ k mod m = a ^（k mod
phi（m））mod m。但是，当a和m不是相对质数时，这并不总是正确的。例如，phi（100）= 40，2 ^ 1 mod 100 = 2，但2 ^ 41
mod 100 =52。您可以将大指数减少为mod phi（m）至少为log_2 m的全数，因此您可以说2 ^ 10001 mod 100 = 2 ^ 41
mod 100，但是您不能将其减少为2 ^ 1 mod100。您可以定义一个mod m [minimum x]或使用min +
mod（a-min，m）只要一个>分钟。

如果T（a，b-1）> [log_2 m]，则

a^T(a,b-1) mod m = a^(T(a,b-1) mod phi(m) [minimum [log_2 m]])

否则，只需计算a ^ T（a，b-1）mod m。

递归计算。您可以用lambda（m）替换phi（m）。

计算2 ^ 32以下数字的素数分解不会花费很长时间，因为您最多可以确定2 ^ 16 =
65,536个试验分区中的素数。像phi和lambda这样的数论函数很容易用素因数分解表示。

在每个步骤中，您将需要能够以小指数计算模幂。

您最终需要计算幂mod phi（m），然后幂mod phi phi（phi（m）），然后幂mod phi
phi（phi（phi（phi（m）））），依此类推。在迭代phi之前不需要那么多迭代函数为1，这意味着您将所有内容都减少为0，并且不再通过增加塔的高度来进行任何更改。

这是一个示例，属于高中数学竞赛中的一种，在竞赛中，参赛者应重新发现并手动执行。14 ^^ 2016的后两位数字是多少？

14^^2016 mod 100 
= 14^T(14,2015) mod 100
= 14^(T(14,2015) mod lambda(100) [minimum 6]) mod 100
= 14^(T(14,2015 mod 20 [minimum 6]) mod 100

T(14,2015) mod 20 
= 14^T(14,2014) mod 20
= 14^(T(14,2014) mod 4 [minimum 4]) mod 20

T(14,2014) mod 4
= 14^T(14,2013) mod 4
= 14^(T(14,2013 mod 2 [minimum 2]) mod 4

T(14,2013) mod 2
= 14^T(14,2012) mod 2
= 14^(T(14,2012 mod 1 [minimum 1]) mod 2
= 14^(1) mod 2
= 14 mod 2
= 0

T(14,2014) mod 4 
= 14^(0 mod 2 [minimum 2]) mod 4
= 14^2 mod 4
= 0

T(14,2015) mod 20
= 14^(0 mod 4 [minimum 4]) mod 20 
= 14^4 mod 20
= 16

T(14,2016) mod 100
= 14^(16 mod 20 [minimum 6]) mod 100
= 14^16 mod 100
= 36

因此，14 ^ 14 ^ 14 ^ … ^ 14结尾于数字… 36。