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奇怪但实用的2D装箱优化

algorithm

样本次优输出

我正在尝试编写一个为分隔面板生成图形的应用程序。

我有N个小隔间（二维矩形）（N <= 40）。对于每个隔间，都有一个最小高度（minHeight [i]）和最小宽度（minWidth
[i]）关联。面板本身也具有MAXIMUM_HEIGHT约束。

这些N个小卧室必须布置在列式网格中，以便每个小卧室都满足上述约束。

同样，每列的宽度由该列中每个小隔间的minWidths最大值确定。

另外，每列的高度应相同。这决定了面板的高度

我们可以在任何列的剩余空间中添加备用柜，也可以将任何柜的高度/宽度增加到指定的最小值以下。但是，我们不能旋转任何隔间。

OBJECTIVE: TO MINIMIZE TOTAL PANEL WIDTH.

目前，我只是通过在优化中忽略小隔间的宽度来实现它。我只是选择具有最大minHeight的小隔间，然后尝试使其适合我的面板。但是，它不能保证最佳解决方案。

我能比这更好吗？

编辑1：面板的MAXIMUM_HEIGHT = 2100mm，最小宽度范围（350mm至800mm），最小高度范围（225mm至2100mm）

编辑2：问题目的：最小化面板宽度（不是面板区域）。

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2020-07-28

共1个答案

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公式

鉴于：

对于每个单元格i = 1, ..., M，（最小）宽度W_i和（最小）高度H_i
任何堆栈的最大允许高度， T

我们可以制定混合整数程序，如下所示：

minimize sum { CW_k | k = 1, ..., N }
with respect to

    C_i in { 1, ..., N },                        i = 1, ..., M

    CW_k >= 0,                                   k = 1, ..., N

and subject to

[1] sum { H_i | C_i = k } <= T,                  k = 1, ..., N

[2] CW_k = max { W_i | C_i = k },                k = 1, ..., N
           (or 0 when set is empty)

您可以选择N任何足够大的整数（例如N = M）。

算法

将此混合整数程序插入到现有的混合整数程序求解器中，以确定最佳C_i, i = 1, ..., M值给出的像元到列的映射。

这是您不想重塑自己的部分。使用现有的求解器！

注意

根据混合整数程序求解程序包的表达能力，您可能会或可能无法直接应用上述公式。如果由于约束[1]或[2]的“基于集合”的性质而不能指定约束，则可以将其max手动转换为
等效的 较少声明但更具规范的表达，而无需这种表达能力：

minimize sum { CW_k | k = 1, ..., N }
with respect to

    C_i_k in { 0, 1 },                           i = 1, ..., M; k = 1, ..., N

    CW_k >= 0,                                   k = 1, ..., N

and subject to

[1] sum { H_i * C_i_k | i = 1, ..., M } <= T,    k = 1, ..., N

[2] CW_k >= W_i * C_i_k,                         i = 1, ..., M; k = 1, ..., N

[3] sum { C_i_k | k = 1, ..., N } = 1,           i = 1, ..., M

在此关系下C_i，之前的变量（取值{ 1, ..., N }）已替换为C_i_k变量（取值{ 0, 1 }）C_i = sum { C_i_k | k = 1, ..., N }。

当且仅当时，最终的单元格到列的映射由C_i_k：单元格i属于列描述。k``C_i_k = 1

2020-07-28