题目描述
给你一根长度为n绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m≥1）。每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少？例如当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到最大的乘积18。
解法
解法一：动态规划法
时间复杂度O(n²)，空间复杂度O(n)。
- 长度为 2，只可能剪成长度为 1 的两段，因此 f(2)=1
- 长度为 3，剪成长度分别为 1 和 2 的两段，乘积比较大，因此 f(3) = 2
- 长度为 n，在剪第一刀的时候，有 n-1 种可能的选择，剪出来的绳子又可以继续剪，可以看出，原问题可以划分为子问题，子问题又有重复子问题。
/**
* @author bingo
* @since 2018/11/20
*/
public class Solution {
/**
* 剪绳子求最大乘积
* @param length 绳子长度
* @return 乘积最大值
*/
public int maxProductAfterCutting(int length) {
if (length < 2) {
return 0;
}
if (length < 4) {
return length - 1;
}
// res[i] 表示当长度为i时的最大乘积
int[] res = new int[length + 1];
res[1] = 1;
res[2] = 2;
res[3] = 3;
// 从长度为4开始计算
for (int i = 4; i <= length; ++i) {
int max = 0;
for (int j = 1; j <= i / 2; ++j) {
max = Math.max(max, res[j] * res[i - j]);
}
res[i] = max;
}
return res[length];
}
}
贪心算法
时间复杂度O(1)，空间复杂度O(1)。
贪心策略：
- 当 n>=5 时，尽可能多地剪长度为 3 的绳子
- 当剩下的绳子长度为 4 时，就把绳子剪成两段长度为 2 的绳子。
证明：
- 当 n>=5 时，可以证明 2(n-2)>n，并且 3(n-3)>n。也就是说，当绳子剩下长度大于或者等于 5 的时候，可以把它剪成长度为 3 或者 2 的绳子段。
- 当 n>=5 时，3(n-3)>=2(n-2)，因此，应该尽可能多地剪长度为 3 的绳子段。
- 当 n=4 时，剪成两根长度为 2 的绳子，其实没必要剪，只是题目的要求是至少要剪一刀。
/**
* @author bingo
* @since 2018/11/20
*/
public class Solution {
/**
* 剪绳子求最大乘积
* @param length 绳子长度
* @return 乘积最大值
*/
public int maxProductAfterCutting(int length) {
if (length < 2) {
return 0;
}
if (length < 4) {
return length - 1;
}
int timesOf3 = length / 3;
if (length % 3 == 1) {
--timesOf3;
}
int timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) >> 1;
return (int) (Math.pow(3, timesOf3) * Math.pow(2, timesOf2));
}
}
测试用例
- 功能测试（绳子的初始长度大于 5）；
- 边界值测试（绳子的初始长度分别为 0、1、2、3、4）。